Логические функции двух переменных

Как уже отмечалось, для двух логических переменных х и у существует четыре различных набора: , , , . На этих наборах переменных (аргументов) может быть задано 16 различных логических функций f(х,у), так как 24 = 16. В таблице 5.1 приведены значения всех этих функций для каждого из четырех наборов двух аргументов.

108

Таблица 5.1

Логические функции двух аргументов

Аргументы		Функции
x	y	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1

Дадим краткую характеристику этим функциям, причем их рассмотрение будем проводить не в порядке нумерации функций в табл. 5.1, а в той последовательности, которая позволит выявить их общие и характерные свойства. Заметим также, что некоторые из этих функций уже были названы ранее.

f14(х, у) - дизъюнкция (логическое сложение, операция "ИЛИ") переменных х и у, принимающая значение 0, когда оба аргумента х и у одновременно равны 0; во всех остальных случаях она равна 1. Иными словами, функция дизъюнкции равна max (х, у).
f1(х, у) - отрицание дизъюнкции (операция "ИЛИ - НЕ"). Данная функция обращается в единицу только в том случае, если аргументы х и у одновременно равны нулю; во всех остальных случаях она равна 0. Часто в литературе функцию х ? у называют также операцией Пирса, по фамилии математика, исследовавшего ее свойства.
f8(х, у) - конъюнкция (логическое умножение, операция "И") переменных х & y, принимающая значение 1, когда оба аргумента х и у одновременно равны 1; во всех остальных случаях функция равна 0. Иными словами, функция конъюнкции равна min (х, у).
f7(х, у) - отрицание конъюнкции (операция "И - НЕ"). Данная функция х & у обращается в нуль только в том случае, когда аргументы х и у одновременно равны 1, и в единицу - во всех остальных случаях. Эта функция называется также операцией Шеффера.
f9(х, у) - эквивалентность или равнозначность переменных х и у.
Данная функция обращается в единицу, если совпадают значения аргументов; в остальных случаях она равна нулю. Обозначается эквивалентность знаком ~, который читается как "равнозначно".
f6(х, у) - отрицание эквивалентности или неравнозначности переменных х и у. Запись х ~ у читается как "х не равнозначно у". Можно убедиться, что значения функции неравнозначности получаются поразрядным сложением переменных х и у по модулю 2, т.е. без учета переноса в старший разряд.
f11(х, у) - импликация от х к у, которая обращается в нуль только в том случае, если х = 1, а у = 0; в остальных случаях функция импликации от х к у равна единице. Данная функция обозначается х > у и читается как "если х, то у".

109

f4(х, у) - отрицание импликации от х к у, т.е. х > у. Данную функцию можно рассматривать как функцию запрета со стороны переменной у. Это означает, что функция х > у обращается в нуль, если переменная у равна единице; в остальных случаях она повторяет переменную х.
f13(х, у) - импликация от у к х, которая обращается в нуль только в том случае, если у = 1, а х = 0; в остальных случаях функция импликации от у к х равна единице. Данная функция обозначается у > х и читается как "если у, то х".
f2(х, у) - отрицание импликации от у к х, т.е. у > х. Данную функцию можно рассматривать как функцию запрета со стороны переменной х. Это означает, что функция у > х обращается в нуль, если переменная х равна единице; в остальных случаях она повторяет переменную у.
f12(х, у) - функция, повторяющая значения переменной х, т.е. f12(x, у) = x.
f3(х, у) - функция отрицания переменной х, т.е. f3(х, у) = х.
f10(х, у) - функция, повторяющая значения переменной у, т.е. f10(х, у) = у.
f5(х, у) - функция отрицания переменной у, т.е. f5(х, у) = у.
f0(х, у) - функция, тождественно равная нулю, т.е. f0(х, у) = 0.
f15(х, у) - функция, тождественно равная единице, т.е. f15(х, у) = 1.

110

108 :: 109 :: 110 :: Содержание

Содержание раздела